连分数
连分数
连分数是一种记号。例如,长为
只是为了形式上简洁,才记成等号左边的样子。这里的四个变元可以任意取值。
连分数各变元的下标从
渐进分数
连分数中,从前面一直到第
渐进分数分子和分母具有完全相同的递推关系:
这里和 Farey 数列的递推关系很像。
形式上记初项:
只是形式上成立。第
证明
可以注意到,
反序定理
如果
如果
证明
对递推关系稍加改造,有:
又利用初值,即可证明反序定理。
渐进分数的差分
计算相邻两项渐进分数的差,需要通分。通分后的分子代入递推关系:
代入初值就有渐进分数的差分:
注
可以观察到,式
渐进分数的递推关系很像行列式的列变换。行列式一列加到另一列上不改变它的值,两列交换则反号。
根据递推式,如果连分数各项均为整数,则渐进分数分子分母总是互素。
对于有理数的简单连分数展开,常用渐进分数差分的等式,求解一次线性不定方程(参见 扩展欧几里得算法):
因为 a 与 b 互素,
无限连分数
如果分式无限地写下去,有无限个变元,就得到无限连分数。无限连分数收敛等价于渐进分数收敛。
有定理:
无限连分数,如果各变元均大于等于
因为只要各变元为正,无限连分数的偶渐进分数单调递增(都比它小),奇渐进分数单调递减(都比它大)。而在均大于等于
显然可以看到,连分数关于下标为偶数的变元单调递增,关于下标为奇数的变元单调递减。这无论它有限或无限都成立。
简单连分数
对于有限连分数,全体结尾为
简单连分数:连分数从第
简单连分数的值,一定大于偶数的渐进分数,一定小于奇数的渐进分数。无限简单连分数一定收敛。
仿照一般分数的概念,第
连分数算法
如果要求
- 取倒数,得到的数大于
。 - 取整,得到的小数部分在
到 之间。 - 对余数
重复上述操作。
这样就得到了相应的表示。
如果规定第
如果两个无限简单连分数的值相等,必然逐项相等。
如果两个有限简单连分数的值相等,不仅要逐项相等,而且必然项数也相同。
无限简单连分数不能与有限简单连分数值相等。有理数与有限简单连分数具有一一对应关系,因此无限简单连分数全都是无理数。
余项(余数)和部分商
从第 k 个变元开始,一直到最后一个变元构成的连分数,记作
余项
对于各项均为正数的连分数,所有的余项也都是正数。
误差估计
实数 x 也可以写成:
最后一项渐近分数就是 x 本身。于是根据渐进分数的递推式,就有:
于是可以估计渐进分数的误差:
分别对 k 取奇数偶数就得到,x 总小于其奇数阶渐近分数,大于其偶数阶渐近分数。
倒数定理
由于实数与简单连分数一一对应,我们称实数的简单连分数的渐进分数,就是实数的渐进分数。于是就有倒数定理:
对于大于 1 的实数 x,x 的渐进分数的倒数恰好是
证明
于是根据新的初值与递推就能发现倒数关系成立。
二次有理数
二次有理数:整系数一元二次方程的解。
用词说明
在初等数论书上,“二次有理数”写为“二次无理数”。这是因为,二次有理数不是有理数,而是无理数。在近世代数书上,写为“二次有理数”或者“二次代数数”,表明它与有理数拥有相似的性质。
同样地,还有“二次整数”。二次整数不是整数,在 Pell 方程 会提到。“二次有理数”一词与“二次整数”相对应,与有理数和整数的关系完全一致,有理数是整数的比值。
二次有理数有以下的表示法,一定可以写成:
其中,
称
称范数为二次有理数与它的共轭的乘积,即:
于是,除以一个二次有理数,等于除以它的范数,再乘上它的共轭。
二次域
具有同样
容易证明,集合
那么有:
共轭定理:在同一个二次域中,如果一个等式仅经过有限次合法四则运算构成,那么对等式两边所有数同时取共轭,等式仍然成立。
证明:取共轭后的新的等式左右两边,结果一定仍然在该二次域中。只需证明它们对应的有理系数和无理系数相等。
无论如何,系数都与根号 d 的整体无关,取共轭只是将根号 d 换成了负根号 d,从头到尾只用到“平方等于 d”一个性质,因此,对应系数相等。
拓展
二次域
比如,乘法的行为模式完全一致:
因此二次有理数的一些性质可以由二阶方阵来解释。比如,范数恰好就是它的行列式:
求倒数也就与伴随方阵求逆法一致。伴随方阵恰好就是它的共轭:
这种二阶方阵的记法参考了二维坐标系的旋转矩阵:
二维坐标系的旋转矩阵的行为模式就像
在下文中,主要研究实二次域。以下的二次有理数,特指实二次有理数,即
循环连分数
仿照循环小数的概念,如果在连分数后面形成了循环,则形成 循环连分数。
循环连分数的最小正周期一般用字母
拉格朗日连分数定理
关于循环连分数有一个特别重要的基础定理:
拉格朗日连分数定理:实二次有理数与循环连分数一一对应。
该定理最早由拉格朗日(Lagrange)于 1769 年证明。
根据余项的重复出现,证明循环连分数一定是二次有理数非常容易。重点在于证明二次有理数一定是循环连分数。
证明
对二次有理数执行“无限简单连分数”计算,即取倒数、取整交替,得到的余数还是二次有理数。
接下来要强行刻画余项,将余项束缚在有限的范围,有限范围里的无限余项必然会发生重复。
设
如果分母不整除分子的范数,那么分子分母同时乘以分母的绝对值,并强行压入根号,在新二次有理数中,分母整除新的分子的范数。因此,任何二次有理数都能写成这形式。
根据上文的简单连分数算法:对余数取整可以得到
取整后得到的新的
由于范数为负,取倒数之后
余数
每个
纯循环连分数
如果循环节从第 0 项开始,称为 纯循环连分数,否则称为 混循环连分数。例如纯循环连分数:
混循环连分数:
混循环连分数后面循环的部分,一般要找最早循环的部分,称为它的“纯循环部分”。
纯循环连分数的整数部分
伽罗瓦连分数定理
纯循环连分数有类似于反序定理的定理。记:
则两个 x 互为“倒数负共轭”。即,若记:
则 x 与 y 共轭。
该定理最早由伽罗瓦(Galois)在他 17 岁那年(1828 年)发现并证明。
证明
不妨改取比较长(例如至少有 5 项)的循环节。将循环节部分反序,根据反序定理,渐进分数有:
由于渐进分数的分子分母总是互素,只能分子分母对应相等。
根据纯循环,循环节的余项与它本身相等,有:
之后只需将上述反序定理代入验证即证完。
根据伽罗瓦连分数定理,纯循环连分数的共轭一定落在
如果二次有理数
证明
对二次无理数进行连分数算法,它的余项
根据共轭落在
由拉格朗日连分数定理,x 一定是循环连分数,存在余项 r 相同,于是它们的前一个部分商 a 相同,前一个余项是小数部分的倒数,也相同。最后推得第 0 项在循环节中,该二次有理数纯循环。
根号 d 的连分数
对于非平方整数 d,有:
这是根号 d 的连分数形式。不仅最后一位是整数部分的两倍,而且中间部分还是对称的。
证明
对于非平方整数 d,二次有理数
是纯循环连分数。于是就有:
而上述纯循环连分数的倒数负共轭既可以用伽罗瓦连分数定理表达,也可以由它本身直接表达:
根据简单连分数展开的唯一性就证明了该结论。
同样也可以证明,整数部分为半整数的相同结构:
一个实例
以
各个余项分别是:
根据伽罗瓦连分数定理,对称的余项
如果循环节
在后面的 Pell 方程一节中将指出,在根号
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