格雷码

格雷码是一个二进制数字系统，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同．举个例子， $3$ 位二进制数的格雷码序列为

000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100

注意序列的下标我们以 $0$ 为起点，也就是说 $G (0) = 000, G (4) = 110$ ．

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年代提出，并于 1953 年获得专利．

构造格雷码（变换）

格雷码的构造方法很多．我们首先介绍手动构造方法，然后会给出构造的代码以及正确性证明．

手动构造

$k$ 位的格雷码可以通过以下方法构造．我们从全 $0$ 格雷码开始，按照下面策略：

翻转最低位得到下一个格雷码，（例如 $000 \to 001$ ）；
把最右边的 $1$ 的左边的位翻转得到下一个格雷码，（例如 $001 \to 011$ ）；

交替按照上述策略生成 $2^{k - 1}$ 次，可得到 $k$ 位的格雷码序列．

镜像构造

$k$ 位的格雷码可以从 $k - 1$ 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速得到，如下图：

\begin{matrix} k = 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \to \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \to \begin{matrix} k = 2 \\ 00 \\ 01 \\ 11 \\ 10 \end{matrix} \to \begin{matrix} 00 \\ 01 \\ 11 \\ 10 \\ 10 \\ 11 \\ 01 \\ 00 \end{matrix} \to \begin{matrix} k = 3 \\ 000 \\ 001 \\ 011 \\ 010 \\ 110 \\ 111 \\ 101 \\ 100 \end{matrix}

计算方法

我们观察一下 $n$ 的二进制和 $G (n)$ ．可以发现，如果 $G (n)$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$ ，仅当 $n$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$ ，第 $i + 1$ 位为 $0$ 或者第 $i$ 位为 $0$ ，第 $i + 1$ 位为 $1$ ．于是我们可以当成一个异或的运算，即

G (n) = n \oplus ⌊ \frac{n}{2} ⌋

int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }

正确性证明

接下来我们证明一下，按照上述公式生成的格雷码序列，相邻两个格雷码的二进制位有且仅有一位不同．

我们考虑 $n$ 和 $n + 1$ 的区别．把 $n$ 加 $1$ ，相当于把 $n$ 的二进制下末位的连续的 $1$ 全部变成取反，然后把最低位的 $0$ 变成 $1$ ．我们这样表示 $n$ 和 $n + 1$ 的二进制位：

\begin{aligned} (n)_{2} & = \dots 0 \underset{k 个}{\underset{⏟}{11 \dots 11}} \\ (n + 1)_{2} & = \dots 1 \underset{k 个}{\underset{⏟}{00 \dots 00}} \end{aligned}

于是我们在计算 $g (n)$ 和 $g (n + 1)$ 的时候，后 $k$ 位都会变成 $\underset{k 个}{\underset{⏟}{100 \dots 00}}$ 的形式，而第 $k + 1$ 位是不同的，因为 $n$ 和 $n + 1$ 除了后 $k + 1$ 位，其他位都是相同的．因此第 $k + 1$ 位要么同时异或 $1$ ，要么同时异或 $0$ ．两种情况，第 $k + 1$ 位都是不同的．而除了后 $k + 1$ 位以外的二进制位也是做相同的异或运算，结果是相同的．

证毕．

通过格雷码构造原数（逆变换）

接下来我们考虑格雷码的逆变换，即给你一个格雷码 $g$ ，要求你找到原数 $n$ ．我们考虑从二进制最高位遍历到最低位（最低位下标为 $1$ ，即个位；最高位下标为 $k$ ）．则 $n$ 的二进制第 $i$ 位与 $g$ 的二进制第 $i$ 位 $g_{i}$ 的关系如下：

\begin{aligned} n_{k} & = g_{k} \\ n_{k - 1} & = g_{k - 1} \oplus n_{k} & = g_{k} \oplus g_{k - 1} \\ n_{k - 2} & = g_{k - 2} \oplus n_{k - 1} & = g_{k} \oplus g_{k - 1} \oplus g_{k - 2} \\ n_{k - 3} & = g_{k - 3} \oplus n_{k - 2} & = g_{k} \oplus g_{k - 1} \oplus g_{k - 2} \oplus g_{k - 3} \\ ⋮ \\ n_{k - i} & = ⨁_{j = 0}^{i} g_{k - j} \end{aligned}

int rev_g(int g) {
  int n = 0;
  for (; g; g >>= 1) n ^= g;
  return n;
}

实际应用

格雷码有一些十分有用的应用，有些应用让人意想不到：

$k$ 位二进制数的格雷码序列可以当作 $k$ 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量）顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标．
格雷码被用于最小化数字模拟转换器（比如传感器）的信号传输中出现的错误，因为它每次只改变一个位．
格雷码可以用来解决汉诺塔的问题．

设盘的数量为 $n$ ．我们从 $n$ 位全 $0$ 的格雷码 $G (0)$ 开始，依次移向下一个格雷码（ $G (i)$ 移向 $G (i + 1)$ ）．当前格雷码的二进制第 $i$ 位表示从小到大第 $i$ 个盘子．

由于每一次只有一个二进制位会改变，因此当第 $i$ 位改变时，我们移动第 $i$ 个盘子．在移动盘子的过程中，除了最小的盘子，其他任意一个盘子在移动的时候，只能有一个放置选择．在移动第一个盘子的时候，我们总是有两个放置选择．于是我们的策略如下：

如果 $n$ 是一个奇数，那么盘子的移动路径为 $f \to t \to r \to f \to t \to r \to \dots$ ，其中 $f$ 是最开始的柱子， $t$ 是最终我们把所有盘子放到的柱子， $r$ 是中间的柱子．

如果 $n$ 是偶数： $f \to r \to t \to f \to r \to t \to \dots$
格雷码也在遗传算法理论中得到应用．

习题

CSP S2 2019 D1T1 Difficulty: easy
SGU #249 Matrix Difficulty: medium

本页面部分内容译自博文 Код Грея 与其英文翻译版 Gray code．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．

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